Analizando la Historia de la humanidad principalmente la Historia del pensamiento en la antigua Grecia, se observa cómo los matemáticos y pensadores se han ocupado de analizar las formas óptimas en la geometría y en la naturaleza.
Quizá el descubrimiento más importante relacionado con uno de los grandes problemas de la geometría griega sea el que realizó MENECMO, matemático griego (350 a. de C.), intentando conseguir la duplicación del cubo (problema irracional: construir un cubo de doble volumen que otro dado): LAS CÓNICAS, curvas que se obtienen como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos distintos según el ángulo del vértice fuese agudo, recto u obtuso.
MENECMO descubre estas curvas como secciones de un cono circular recto por un plano perpendicular a una generatriz.
CONO RECTÁNGULO: Giro en torno a un cateto de triángulo rectángulo isósceles
CONO ACUTÁNGULO: Giro en torno al cateto mayor de un triángulo rectángulo
CONO OBTUSÁNGULO: Giro en torno al cateto menor de un triángulo rectángulo.
Las secciones propuestas por Menecmo serían:
Secciones en un cono rectángulo Producen una parábola
Secciones en un cono acutángulo Producen una elipse
Secciones en un cono obtusángulo Producen una rama de hipérbola
Fue APOLONIO de Perga (262-190 a. de C.) el primero en estudiarlas detalladamente y encontrar la propiedad plana que las definía.
APOLONIO, demostró por primera vez:
- que no es necesario considerar exclusivamente secciones perpendiculares a una generatriz del cono.
- que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones cónicas sin más que variar la
inclinación del plano que corta al cono.
- que no es necesario sea el cono recto, es decir que el eje sea perpendicular al plano de la base circular.
- que puede sustituirse el cono de una hoja por el cono de dos hojas( par de conos orientados en sentido
opuesto, con vértices coincidentes y ejes sobre la misma recta. Lo que le lleva a descubrir que la
hipérbola ese una cónica con dos ramas.
Para Apolonio: Si una recta de longitud indefinida y que pasa siempre por un punto fijo se hace mover sobre la circunferencia de un círculo que no está en el mismo plano que el punto dado, de tal manera que pasa sucesivamente por todos los puntos de dicha circunferencia, entonces la recta móvil describirá la superficie de un cono doble recto si la recta el perpendicular al círculo u oblicuo si no lo es.
Apolonio, dio el nombre a las curvas obtenidas mediante las secciones:
ELIPSE: Resulta al inclinar el plano, sin llegar a
ser paralelo a ninguna de sus generatrices y sin llegar al ángulo que forma la generatriz del cono.
PARÁBOLA: Resulta al cortar el cono con un plano paralelo a la generatriz del cono
HIPÉRBOLA: Resulta, si el ángulo del plano es todavía mayor.
Apolonio demostró también que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes, algunas de las cuales se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las más interesantes y útiles que descubrió son las llamadas propiedades de reflexión de las cónicas:
1ª.- Reflexión de la parábola: Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.
Existe la leyenda que dice: Arquímedes (287-212 a. de C.), ante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa, utilizó esta propiedad de reflexión parabólica, (ideó un complejo sistema de espejos metálicos colocados en forma de parábola que concentraban los rayos solares sobre la flota romana) para incendiar las naves romanas.
En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión, espejos solares.
2º.- Reflexión de la elipse: Apolonio demostró, que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.
Hasta el siglo XVII, las cónicas eran conocidas y apreciadas a través de la obra de Apolonio. DESCARTES (1596-1650), desarrolló un método
para relacionar las curvas con ecuaciones, lo que
dio origen a la Geometría Analítica.
Las cónicas pueden representarse por ecuaciones
cuadráticas en dos variables.
El hecho que todas las ecuaciones cuadráticas
representen secciones cónicas se lo debemos a
Jan de Witt (1629-1672).
Fue entonces cuando Galileo Galilei (1564-1642)
probó que los proyectiles se mueven según trayectorias parabólicas:
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630)
descubrió que las órbitas que describen los
planetas al girar alrededor del sol son elipses que tienen al sol en uno de sus focos.
No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico. Sin embargo parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada.
Pues bien, esto no es exactamente así.
Lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cómo ha aprovechado la arquitectura en el último siglo no sólo las técnicas matemáticas, sino también las ideas. Haremos un recorrido visitando desde la Sagrada Familia de Gaudí hasta el Guggenheim de Gehry, pasando por la obra mexicana de Félix Candela y por el estadio olímpico de Múnich. Un recorrido que paralelamente nos traerá desde las superficies clásicas utilizadas en arquitectura a las modernas superficies generadas por ordenador.
–– GEOMETRÍA Y ARQUITECTURA ANTES DEL ORDENADOR
Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la bautizada con el pomposo nombre de paraboloide hiperbólico. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, el paraboloide hiperbólico es un espécimen ya conocido por los griegos. Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas.
Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominamos superficies regladas y tenemos ejemplos en cantidad suficiente en otra arte, en la escultura. Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).
Veamos exactamente cómo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolución. Quien mostró una maestría sublime en su utilización fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanogràfic (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.
Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto.
GAUDI
–– SUPERFICIES MÍNIMAS EN ARQUITECTURA
El siguiente ejemplo de utilización de un determinado tipo de superficie en arquitectura lo podemos encontrar en dos de los edificios del complejo olímpico de Múnich (1972). Tanto la cubierta de las gradas del estadio olímpico como la de la piscina son ejemplos de las nominadas superficies mínimas. Estas superficies, conocidas en geometría desde el siglo XVII, tienen la propiedad de ser, entre todas las que tienen la misma frontera, las que tienen área mínima. La propiedad de minimizar el área es la que aprovechó su arquitecto, el alemán Frei Otto, para levantar, mediante un sistema de apoyos y cables, una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulaban, permitiendo a la vez una economía de material y una forma atrevida.
Las superficies mínimas, aunque permiten más grados de libertad que el uso exclusivo de los paraboloides hiperbólicos, continúan teniendo restricciones. Básicamente estas restricciones aparecen por el hecho de que, dada la frontera, la superficie mínima está totalmente determinada. Por lo tanto, los diseñadores de superficies sólo pueden actuar sobre la frontera y esperar que la superficie mínima resultante presente la forma deseada.
–– LA GÉNESIS DEL DISEÑO GEOMÉTRICO ASISTIDO POR ORDENADOR
Este problema, la carencia de libertad en el diseño, que aparece con la utilización de superficies cuádricas o mínimas, es el mismo que se planteó en el origen de una nueva disciplina: obtener curvas y superficies de formas diversas pero con un procedimiento sencillo. Esto no se puede conseguir con ecuaciones, puesto que la intuición, mal que nos pese a los geómetras, se pierde cuando sustituimos una superficie por una ecuación. Hace falta un procedimiento geométrico simple que permita construir formas complicadas. En éstas estaban en el centro de diseño de la empresa automovilística Citroën cuando, en las postrimerías de la década de los 50, contrataron un joven matemático. En palabras del mismo matemático “ni él sabía qué podía hacer en aquella empresa, ni, lo que es peor, la empresa sabía qué podía hacer con un matemático’’. El caso es que le plantearon un problema relacionado con el diseño y la respuesta que dio es ahora conocida como el inicio del diseño geométrico asistido por ordenador. Su apellido era DeCasteljau, pero ahora las curvas y superficies que ideó se conocen con el nombre de curvas y superficies de Bézier, en honor de otro matemático que, de manera independiente y alternativa, llegó a la misma solución trabajando para una empresa de la competencia, la Renault. La explicación de este cambio de nombre es a la vez sencilla y cruel, la política de propiedad intelectual de la Citroën era mucho más restrictiva con sus trabajadores que la de la Renault. DeCasteljau no obtuvo el permiso para publicar su trabajo en revistas científicas, con todo lo que conlleva de difusión internacional de los resultados, lo que sí que pudo hacer Bézier.
La idea de DeCasteljau para construir superficies tiene como germen el mismo paraboloide hiperbólico. Ya hemos visto que con cuatro puntos determinamos un paraboloide hiperbólico. De alguna manera podemos decir que estos puntos controlan la superficie. La idea consiste en utilizar una red de puntos que controlan la superficie, y construir la superficie con un procedimiento parecido al que utilizan los obreros, matemáticamente denominado interpolación lineal, de manera recursiva. Hay que señalar que uno de los ingredientes fundamentales que los informáticos, y también los matemáticos, aprovechan cuando diseñan un algoritmo es la recursividad. Por tanto, la construcción de DeCasteljau está totalmente adaptada a la nueva herramienta de trabajo que representaba el ordenador en aquellos primeros años de su aparición.
–– CAGD EN LA ARQUITECTURA
En Les Alqueries, en La Plana Baixa, se podía contemplar a principios de verano del 2002 cómo al lado de la carretera empezaba a levantarse una estructura que llamaba poderosamente la atención. Eran las cuadernas de madera que soportarían el techo de un nuevo restaurante. El edificio es de planta rectangular, con paredes sin ningún ornamento, todo muy clásico. Sin embargo, el elemento más llamativo es la forma de la cubierta. En contraste con la utilización de líneas rectas y paredes totalmente planas, la cubierta casi volaba mostrando una estructura curvada grácilmente. Casi como si una mágica alfombra voladora se hubiera puesto como techo. Las paredes de vidrio contribuyen a hacer más patente esta sensación. Pues bien, la cubierta no es otra cosa que una de las más sencillas superficies de la nueva disciplina.
La cubierta que se podía contemplar a principios de verano del 2002, totalmente acabada a comienzos del otoño, es el ejemplo de superficie de Bézier más sencillo a parte del propio paraboloide hiperbólico. Continúa siendo una superficie reglada. Dos de los lados de la superficie son parábolas, una cóncava y la otra convexa. Los otros dos son segmentos rectilíneos. Podemos pensar en la superficie como una familia de segmentos rectilíneos, apoyados en sus extremos sobre ambas parábolas. Es decir, los obreros de Gaudí habrían deslizado la barra con los extremos sobre las dos parábolas.
Esta superficie todavía conserva una de las propiedades del paraboloide hiperbólico, todavía es una superficie reglada. Las dimensiones de su red de control son 3 por 2. Un ejemplo de superficie de Bézier con un grado más de complejidad se puede construir con una red de control del tipo 3 por 3. Pues bien, resulta que también podemos encontrar una materialización arquitectónica en la misma ciudad de Valencia, concretamente en el extremo norte de la playa de la Malvarrosa.
El ejemplo más emblemático de aplicación del diseño asistido por ordenador en la arquitectura lo tenemos también cerca, el Museo Guggenheim (1997) del arquitecto canadiense Frank O. Gehry. Sus aristas curvadas, la forma sinuosa de las paredes recubiertas de titanio, los volúmenes nada uniformes, la geometría irregular, en definitiva, son producto de la voluntad de integrar el edificio en el entorno que lo rodea y de la ayuda que su creador ha tenido de los programas informáticos de diseño basados en los conceptos de curvas y superficies de Bézier y de sus generalizaciones.
El embrión del diseño del Museo son unos pocos garabatos. Sólo con información adicional podemos relacionar el boceto con el resultado final. Pese a esto, la chispa creativa está allá. Todo lo que viene después es técnica. Ahora bien, la noción de superficies de Bézier ayudó al arquitecto a pasar con facilidad de las musas al papel. En palabras del arquitecto mismo: “…Después el ordenador hace los modelos y yo los utilizo como revisión visual final. Entonces, con el ordenador… creo que cambia la ecuación entre arquitecto y construcción”. Nos podemos imaginar el estudio de arquitectura con el arquitecto trabajando con un programa de diseño asistido por ordenador en marcha (concretamente, era uno llamado CATIA, de una empresa aeroespacial francesa) haciendo pruebas y más pruebas, cambiando de sitio los puntos de control, hasta que aquello que mostraba el monitor reflejara lo que él tenía en mente.
Si visitáis alguna vez el museo de Bilbao, recordad que el mismo envoltorio del museo, el edificio, tanto el exterior como el interior, es también una obra de arte producto de un arquitecto de su tiempo, un Vitruvio electrónico, que aprovechó las herramientas matemáticas en el mismo proceso de creación. Herramientas que permitieron transformar las visiones escultóricas en un proyecto factible
viernes, 10 de septiembre de 2010
CÓNICA EN LA ARQUITECTURA
NO EXTRAÑA A NADIE EL HECHO DE QUE LAS MATEMÁTICAS TENGAN UNA APLICACIÓN DIRECTA EN ARQUITECTURA. TODOS NOS PODEMOS IMAGINAR QUE, ANTES DE PONER MANOS A LA OBRA, EL ARQUITECTO TIENE QUE COMPROBAR QUE LA ESTRUCTURA QUE QUIERE CONSTRUIR ES REALIZABLE TENIENDO EN CUENTA LA RESISTENCIA DE LOS MATERIALES QUE EMPLEARÁ, LAS CARGAS QUE TIENEN QUE SOPORTAR Y QUIZÁS TAMBIÉN EL COSTE ECONÓMICO. SIN EMBARGO PARECE QUE ESTA APLICACIÓN SE REDUCE SÓLO A ESTO, AL CÁLCULO DE ESTABILIDADES, DE TENSIONES, ETC., PERO DE NINGUNA FORMA AL DISEÑO DEL OBJETO ARQUITECTÓNICO MISMO. PENSAMOS, Y ES BIEN CIERTO, QUE CON RESPECTO A LA CREACIÓN ARTÍSTICA, EL ARQUITECTO APARTA DE SU MESA DE TRABAJO LAS MATEMÁTICAS Y DEJA VOLAR LA IMAGINACIÓN EN LA BÚSQUEDA DE LA FORMA DESEADA.
PUES BIEN, ESTO NO ES EXACTAMENTE ASÍ.
Superficie cónica :
La interacción pude Ser un circulo, un elipse ,hipérbole ,parábola
LA ELIPSE ES EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO CUYA SUMA DE DISTANCIAS A DOS PUNTOS FIJOS ES CONSTANTE. ESTOS DOS PUNTOS FIJOS SE LLAMAN FOCOS DE LA ELIPSE.
ES EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO CUYA DIFERENCIA DE DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS FIJOS ES CONSTANTE. ESTOS DOS PUNTOS FIJOS SE LLAMAN FOCOS DE LA HIPÉRBOLA.
PARÁBOLA
LA PARÁBOLA ES EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN DE UN PUNTO FIJO LLAMADO FOCO Y DE UNA RECTA FIJA LLAMADA DIRECTRIZ.
GEOMETRÍA Y ARQUITECTURA:
Paraboloide hiperbólico
En principio, podría parecer que no es una figura tan extraordinaria, ya que muy a menudo, al contemplar construcciones habituales con ojos de geómetra, la podemos ver cuando se quieren hacer casar cosas mal niveladas (cubiertas, pavimentos...), ya que el paraboloide hiperbólico es simplemente un plano alabeado. Pero, en realidad es una superficie muy interesante en la arquitectura y en la escultura, por la propiedad de que aún siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Por cada uno de sus puntos pasan dos rectas, una de cada una de la familia de generadores. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies se denominan superficies regladas.
El paraboloide hiperbólico es una de las superficies regladas utilizadas con más frecuencia por Gaudí. En la Sagrada Familia (iniciada el año 1883) podemos encontrar el paraboloide hiperbólico por todas partes.
Es de suponer que esta propiedad de construirse con líneas rectas es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia
Veamos exactamente cómo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies regladas como el hiperboloide de revolución, el helicoide, el conoide,...
Paraboloide de revolución
Helicoides
Escuela diseñada por Gaudí, para que pudieran asistir los hijos de los trabajadores de la Sagrada Familia, durante su construcción.
Quien mostró una maestría sublime en la utilización del paraboloide hiperbólico fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano,
Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos.
La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo oceanográfico de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia. Veamos una fotografía realizada durante su construcción,
de la cubierta del edificio de recepción
Observemos la unión de partes de un paraboloide hiperbólico en la cubierta del edificio.
Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto.
CONCLUSIÓN.
HAY CUATRO TIPOS DE CÓNICAS, QUE SON LA HIPÉRBOLA, PARÁBOLA, CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE.
NO EXTRAÑA A NADIE EL HECHO DE QUE LAS MATEMÁTICAS TENGAN UNA APLICACIÓN DIRECTA EN ARQUITECTURA. TODOS NOS PODEMOS IMAGINAR QUE, ANTES DE PONER MANOS A LA OBRA, EL ARQUITECTO TIENE QUE COMPROBAR QUE LA ESTRUCTURA QUE QUIERE CONSTRUIR ES REALIZABLE TENIENDO EN CUENTA LA RESISTENCIA DE LOS MATERIALES QUE EMPLEARÁ, LAS CARGAS QUE TIENEN QUE SOPORTAR Y QUIZÁS TAMBIÉN EL COSTE ECONÓMICO. SIN EMBARGO PARECE QUE ESTA APLICACIÓN SE REDUCE SÓLO A ESTO, AL CÁLCULO DE ESTABILIDADES, DE TENSIONES, ETC., PERO DE NINGUNA FORMA AL DISEÑO DEL OBJETO ARQUITECTÓNICO MISMO. PENSAMOS, Y ES BIEN CIERTO, QUE CON RESPECTO A LA CREACIÓN ARTÍSTICA, EL ARQUITECTO APARTA DE SU MESA DE TRABAJO LAS MATEMÁTICAS Y DEJA VOLAR LA IMAGINACIÓN EN LA BÚSQUEDA DE LA FORMA DESEADA.
PUES BIEN, ESTO NO ES EXACTAMENTE ASÍ.
LO QUE QUIZÁS RESULTA DESCONOCIDO ES QUE LAS MATEMÁTICAS TAMBIÉN PUEDEN AYUDAR, Y DE HECHO LO HACEN, SI NO EN EL MISMO MOMENTO MÁGICO DE CREACIÓN ARTÍSTICA, SÍ EN EL INMEDIATAMENTE POSTERIOR. “TODA CREACIÓN ARQUITECTÓNICA ES GEOMETRÍA’’ ES UNA MÁXIMA QUE SE PUEDE ENCONTRAR EN LOS TRATADOS DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA. DESDE SIEMPRE, LOS ARQUITECTOS HAN APROVECHADO SUPERFICIES DE LAS QUE PUEDEN CALIFICARSE DE CLÁSICAS Y LAS COMBINABAN ACERTADAMENTE. Y EN NUESTROS DÍAS, TAMBIÉN LO CONTINÚAN HACIENDO. UNA NUEVA TEORÍA, LA DE LAS SUPERFICIES DE BÉZIER Y SUS GENERALIZACIONES, ENGENDRADA A PRINCIPIOS DE LA DÉCADA DE LOS 60 EN VARIAS EMPRESAS AUTOMOVILÍSTICAS Y DE CONSTRUCCIÓN AERONÁUTICA, PERMITE AYUDAR AL ARQUITECTO A DISEÑAR SUPERFICIES DE MANERA ARBITRARIA CON SENCILLEZ Y ELEGANCIA. PERMITIDME QUE OS INTENTE EXPLICAR CÓMO HA APROVECHADO LA ARQUITECTURA EN EL ÚLTIMO SIGLO NO SÓLO LAS TÉCNICAS MATEMÁTICAS, SINO TAMBIÉN LAS IDEAS.
Superficie cónica :
SE DENOMINA SECCIÓN CÓNICA (O SIMPLEMENTE CÓNICA) A LA CURVA INTERSECCIÓN DE UN CONO CON UN PLANO QUE NO PASA POR SU VÉRTICE.
La interacción pude Ser un circulo, un elipse ,hipérbole ,parábola
CIRCUNFERENCIA.
UNA CIRCUNFERENCIA ES UN CONJUNTO DE PUNTOS DEL PLANO EQUIDISTANTES DE OTRO FIJO, LLAMADO CENTRO; ESTA DISTANCIA SE DENOMINA RADIO. EL SEGMENTO DE RECTA FORMADO POR DOS RADIOS ALINEADOS SE LLAMA DIÁMETRO.
LA CIRCUNFERENCIA EN LA ARQUITECTURA SIRVE PARA ADORNAR O MEJORAR EL AMBIENTE
Círculo protector. Lanzarote.
Círculo imperial - Templo del Cielo. Pekín.
Piedra del Sol (Natural History Museum. Nueva York)
ELIPSE.
LA ELIPSE ES EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO CUYA SUMA DE DISTANCIAS A DOS PUNTOS FIJOS ES CONSTANTE. ESTOS DOS PUNTOS FIJOS SE LLAMAN FOCOS DE LA ELIPSE.
ESTADIO DE MARACANÁ
TEATRO NACIONAL DE BEIJING
EN LA ARQUITECTURA INTERVIENE EN
HIPÉRBOLA
PARÁBOLA
LA PARÁBOLA ES EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN DE UN PUNTO FIJO LLAMADO FOCO Y DE UNA RECTA FIJA LLAMADA DIRECTRIZ.
Casa Milá (Antonio Gaudí). Barcelona.(*)
L' Oceanographic. Valencia.
GEOMETRÍA Y ARQUITECTURA:
Paraboloide hiperbólico
En principio, podría parecer que no es una figura tan extraordinaria, ya que muy a menudo, al contemplar construcciones habituales con ojos de geómetra, la podemos ver cuando se quieren hacer casar cosas mal niveladas (cubiertas, pavimentos...), ya que el paraboloide hiperbólico es simplemente un plano alabeado. Pero, en realidad es una superficie muy interesante en la arquitectura y en la escultura, por la propiedad de que aún siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Por cada uno de sus puntos pasan dos rectas, una de cada una de la familia de generadores. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies se denominan superficies regladas.
El paraboloide hiperbólico es una de las superficies regladas utilizadas con más frecuencia por Gaudí. En la Sagrada Familia (iniciada el año 1883) podemos encontrar el paraboloide hiperbólico por todas partes.
Es de suponer que esta propiedad de construirse con líneas rectas es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia
Veamos exactamente cómo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies regladas como el hiperboloide de revolución, el helicoide, el conoide,...
Hiperboloide de revolución de una sola hoja
Paraboloide de revolución
Helicoides
Escuela diseñada por Gaudí, para que pudieran asistir los hijos de los trabajadores de la Sagrada Familia, durante su construcción.
Quien mostró una maestría sublime en la utilización del paraboloide hiperbólico fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano,
Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos.
La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo oceanográfico de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia. Veamos una fotografía realizada durante su construcción,
de la cubierta del edificio de recepción
Observemos la unión de partes de un paraboloide hiperbólico en la cubierta del edificio.
Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto.
CONCLUSIÓN.
HAY CUATRO TIPOS DE CÓNICAS, QUE SON LA HIPÉRBOLA, PARÁBOLA, CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE.
CADA UNA TIENE APLICACIONES PRÁCTICAS EN LA ARQUITECTURA COMO ES EN EL CASO DE LA ELIPSE E HIPÉRBOLA. ÉSTAS SON PRINCIPALMENTE EMPLEADAS SOPORTE ARQUITECTÓNICOS
trabajado por deyby antony valle palacio
la geometria al arte de la arquitectura
Arquitectura y matemáticas.
La geometría al servicio del arte: de Gaudí a Gehry
Juan Monterde. Departamento de Geometría y Topología, Universitat de València.
Architecture and Mathematics, Geometry and Art: from Gaudí to Gehry.
Architecture has been indebted to geometric surfaces since ancient times, as books of descriptive geometry are witness: “Any architectonic creation is Geometry”. However, such geometries have evolved from classical surfaces to those designed with the help of a new discipline: Computer Aided Geometric Design (CAGD). The author reviews pre-computer geometric design exemplified by the use of hyperbolic paraboloids (Gaudí and Candela), its origin in the automotive industry and how it has been used brilliantly by Gehry in the Guggenheim Museum, Bilbao.
No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico. Sin embargo parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada.
Pues bien, esto no es exactamente así.
Lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cómo ha aprovechado la arquitectura en el último siglo no sólo las técnicas matemáticas, sino también las ideas. Haremos un recorrido visitando desde la Sagrada Familia de Gaudí hasta el Guggenheim de Gehry, pasando por la obra mexicana de Félix Candela y por el estadio olímpico de Múnich. Un recorrido que paralelamente nos traerá desde las superficies clásicas utilizadas en arquitectura a las modernas superficies generadas por ordenador.
–– GEOMETRÍA Y ARQUITECTURA ANTES DEL ORDENADOR
Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la bautizada con el pomposo nombre de paraboloide hiperbólico. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, el paraboloide hiperbólico es un espécimen ya conocido por los griegos. Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas.
Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominamos superficies regladas y tenemos ejemplos en cantidad suficiente en otra arte, en la escultura. Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).
Veamos exactamente cómo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolución. Quien mostró una maestría sublime en su utilización fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanogràfic (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.
Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto.
–– SUPERFICIES MÍNIMAS EN ARQUITECTURA
El siguiente ejemplo de utilización de un determinado tipo de superficie en arquitectura lo podemos encontrar en dos de los edificios del complejo olímpico de Múnich (1972). Tanto la cubierta de las gradas del estadio olímpico como la de la piscina son ejemplos de las nominadas superficies mínimas. Estas superficies, conocidas en geometría desde el siglo XVII, tienen la propiedad de ser, entre todas las que tienen la misma frontera, las que tienen área mínima. La propiedad de minimizar el área es la que aprovechó su arquitecto, el alemán Frei Otto, para levantar, mediante un sistema de apoyos y cables, una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulaban, permitiendo a la vez una economía de material y una forma atrevida.
Las superficies mínimas, aunque permiten más grados de libertad que el uso exclusivo de los paraboloides hiperbólicos, continúan teniendo restricciones. Básicamente estas restricciones aparecen por el hecho de que, dada la frontera, la superficie mínima está totalmente determinada. Por lo tanto, los diseñadores de superficies sólo pueden actuar sobre la frontera y esperar que la superficie mínima resultante presente la forma deseada.
–– LA GÉNESIS DEL DISEÑO GEOMÉTRICO ASISTIDO POR ORDENADOR
Este problema, la carencia de libertad en el diseño, que aparece con la utilización de superficies cuádricas o mínimas, es el mismo que se planteó en el origen de una nueva disciplina: obtener curvas y superficies de formas diversas pero con un procedimiento sencillo. Esto no se puede conseguir con ecuaciones, puesto que la intuición, mal que nos pese a los geómetras, se pierde cuando sustituimos una superficie por una ecuación. Hace falta un procedimiento geométrico simple que permita construir formas complicadas. En éstas estaban en el centro de diseño de la empresa automovilística Citroën cuando, en las postrimerías de la década de los 50, contrataron un joven matemático. En palabras del mismo matemático “ni él sabía qué podía hacer en aquella empresa, ni, lo que es peor, la empresa sabía qué podía hacer con un matemático’’. El caso es que le plantearon un problema relacionado con el diseño y la respuesta que dio es ahora conocida como el inicio del diseño geométrico asistido por ordenador. Su apellido era DeCasteljau, pero ahora las curvas y superficies que ideó se conocen con el nombre de curvas y superficies de Bézier, en honor de otro matemático que, de manera independiente y alternativa, llegó a la misma solución trabajando para una empresa de la competencia, la Renault. La explicación de este cambio de nombre es a la vez sencilla y cruel, la política de propiedad intelectual de la Citroën era mucho más restrictiva con sus trabajadores que la de la Renault. DeCasteljau no obtuvo el permiso para publicar su trabajo en revistas científicas, con todo lo que conlleva de difusión internacional de los resultados, lo que sí que pudo hacer Bézier.
La idea de DeCasteljau para construir superficies tiene como germen el mismo paraboloide hiperbólico. Ya hemos visto que con cuatro puntos determinamos un paraboloide hiperbólico. De alguna manera podemos decir que estos puntos controlan la superficie. La idea consiste en utilizar una red de puntos que controlan la superficie, y construir la superficie con un procedimiento parecido al que utilizan los obreros, matemáticamente denominado interpolación lineal, de manera recursiva. Hay que señalar que uno de los ingredientes fundamentales que los informáticos, y también los matemáticos, aprovechan cuando diseñan un algoritmo es la recursividad. Por tanto, la construcción de DeCasteljau está totalmente adaptada a la nueva herramienta de trabajo que representaba el ordenador en aquellos primeros años de su aparición.
–– CAGD EN LA ARQUITECTURA
En Les Alqueries, en La Plana Baixa, se podía contemplar a principios de verano del 2002 cómo al lado de la carretera empezaba a levantarse una estructura que llamaba poderosamente la atención. Eran las cuadernas de madera que soportarían el techo de un nuevo restaurante. El edificio es de planta rectangular, con paredes sin ningún ornamento, todo muy clásico. Sin embargo, el elemento más llamativo es la forma de la cubierta. En contraste con la utilización de líneas rectas y paredes totalmente planas, la cubierta casi volaba mostrando una estructura curvada grácilmente. Casi como si una mágica alfombra voladora se hubiera puesto como techo. Las paredes de vidrio contribuyen a hacer más patente esta sensación. Pues bien, la cubierta no es otra cosa que una de las más sencillas superficies de la nueva disciplina.
La cubierta que se podía contemplar a principios de verano del 2002, totalmente acabada a comienzos del otoño, es el ejemplo de superficie de Bézier más sencillo a parte del propio paraboloide hiperbólico. Continúa siendo una superficie reglada. Dos de los lados de la superficie son parábolas, una cóncava y la otra convexa. Los otros dos son segmentos rectilíneos. Podemos pensar en la superficie como una familia de segmentos rectilíneos, apoyados en sus extremos sobre ambas parábolas. Es decir, los obreros de Gaudí habrían deslizado la barra con los extremos sobre las dos parábolas.
Esta superficie todavía conserva una de las propiedades del paraboloide hiperbólico, todavía es una superficie reglada. Las dimensiones de su red de control son 3 por 2. Un ejemplo de superficie de Bézier con un grado más de complejidad se puede construir con una red de control del tipo 3 por 3. Pues bien, resulta que también podemos encontrar una materialización arquitectónica en la misma ciudad de Valencia, concretamente en el extremo norte de la playa de la Malvarrosa.
El ejemplo más emblemático de aplicación del diseño asistido por ordenador en la arquitectura lo tenemos también cerca, el Museo Guggenheim (1997) del arquitecto canadiense Frank O. Gehry. Sus aristas curvadas, la forma sinuosa de las paredes recubiertas de titanio, los volúmenes nada uniformes, la geometría irregular, en definitiva, son producto de la voluntad de integrar el edificio en el entorno que lo rodea y de la ayuda que su creador ha tenido de los programas informáticos de diseño basados en los conceptos de curvas y superficies de Bézier y de sus generalizaciones.
El embrión del diseño del Museo son unos pocos garabatos. Sólo con información adicional podemos relacionar el boceto con el resultado final. Pese a esto, la chispa creativa está allá. Todo lo que viene después es técnica. Ahora bien, la noción de superficies de Bézier ayudó al arquitecto a pasar con facilidad de las musas al papel. En palabras del arquitecto mismo: “…Después el ordenador hace los modelos y yo los utilizo como revisión visual final. Entonces, con el ordenador… creo que cambia la ecuación entre arquitecto y construcción”. Nos podemos imaginar el estudio de arquitectura con el arquitecto trabajando con un programa de diseño asistido por ordenador en marcha (concretamente, era uno llamado CATIA, de una empresa aeroespacial francesa) haciendo pruebas y más pruebas, cambiando de sitio los puntos de control, hasta que aquello que mostraba el monitor reflejara lo que él tenía en mente.
Si visitáis alguna vez el museo de Bilbao, recordad que el mismo envoltorio del museo, el edificio, tanto el exterior como el interior, es también una obra de arte producto de un arquitecto de su tiempo, un Vitruvio electrónico, que aprovechó las herramientas matemáticas en el mismo proceso de creación. Herramientas que permitieron transformar las visiones escultóricas en un proyecto factible.
La geometría al servicio del arte: de Gaudí a Gehry
Juan Monterde. Departamento de Geometría y Topología, Universitat de València.
Architecture and Mathematics, Geometry and Art: from Gaudí to Gehry.
Architecture has been indebted to geometric surfaces since ancient times, as books of descriptive geometry are witness: “Any architectonic creation is Geometry”. However, such geometries have evolved from classical surfaces to those designed with the help of a new discipline: Computer Aided Geometric Design (CAGD). The author reviews pre-computer geometric design exemplified by the use of hyperbolic paraboloids (Gaudí and Candela), its origin in the automotive industry and how it has been used brilliantly by Gehry in the Guggenheim Museum, Bilbao.
No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico. Sin embargo parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada.
Pues bien, esto no es exactamente así.
Lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cómo ha aprovechado la arquitectura en el último siglo no sólo las técnicas matemáticas, sino también las ideas. Haremos un recorrido visitando desde la Sagrada Familia de Gaudí hasta el Guggenheim de Gehry, pasando por la obra mexicana de Félix Candela y por el estadio olímpico de Múnich. Un recorrido que paralelamente nos traerá desde las superficies clásicas utilizadas en arquitectura a las modernas superficies generadas por ordenador.
–– GEOMETRÍA Y ARQUITECTURA ANTES DEL ORDENADOR
Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la bautizada con el pomposo nombre de paraboloide hiperbólico. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, el paraboloide hiperbólico es un espécimen ya conocido por los griegos. Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas.
Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominamos superficies regladas y tenemos ejemplos en cantidad suficiente en otra arte, en la escultura. Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).
Veamos exactamente cómo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolución. Quien mostró una maestría sublime en su utilización fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanogràfic (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.
Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto.
–– SUPERFICIES MÍNIMAS EN ARQUITECTURA
El siguiente ejemplo de utilización de un determinado tipo de superficie en arquitectura lo podemos encontrar en dos de los edificios del complejo olímpico de Múnich (1972). Tanto la cubierta de las gradas del estadio olímpico como la de la piscina son ejemplos de las nominadas superficies mínimas. Estas superficies, conocidas en geometría desde el siglo XVII, tienen la propiedad de ser, entre todas las que tienen la misma frontera, las que tienen área mínima. La propiedad de minimizar el área es la que aprovechó su arquitecto, el alemán Frei Otto, para levantar, mediante un sistema de apoyos y cables, una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulaban, permitiendo a la vez una economía de material y una forma atrevida.
Las superficies mínimas, aunque permiten más grados de libertad que el uso exclusivo de los paraboloides hiperbólicos, continúan teniendo restricciones. Básicamente estas restricciones aparecen por el hecho de que, dada la frontera, la superficie mínima está totalmente determinada. Por lo tanto, los diseñadores de superficies sólo pueden actuar sobre la frontera y esperar que la superficie mínima resultante presente la forma deseada.
–– LA GÉNESIS DEL DISEÑO GEOMÉTRICO ASISTIDO POR ORDENADOR
Este problema, la carencia de libertad en el diseño, que aparece con la utilización de superficies cuádricas o mínimas, es el mismo que se planteó en el origen de una nueva disciplina: obtener curvas y superficies de formas diversas pero con un procedimiento sencillo. Esto no se puede conseguir con ecuaciones, puesto que la intuición, mal que nos pese a los geómetras, se pierde cuando sustituimos una superficie por una ecuación. Hace falta un procedimiento geométrico simple que permita construir formas complicadas. En éstas estaban en el centro de diseño de la empresa automovilística Citroën cuando, en las postrimerías de la década de los 50, contrataron un joven matemático. En palabras del mismo matemático “ni él sabía qué podía hacer en aquella empresa, ni, lo que es peor, la empresa sabía qué podía hacer con un matemático’’. El caso es que le plantearon un problema relacionado con el diseño y la respuesta que dio es ahora conocida como el inicio del diseño geométrico asistido por ordenador. Su apellido era DeCasteljau, pero ahora las curvas y superficies que ideó se conocen con el nombre de curvas y superficies de Bézier, en honor de otro matemático que, de manera independiente y alternativa, llegó a la misma solución trabajando para una empresa de la competencia, la Renault. La explicación de este cambio de nombre es a la vez sencilla y cruel, la política de propiedad intelectual de la Citroën era mucho más restrictiva con sus trabajadores que la de la Renault. DeCasteljau no obtuvo el permiso para publicar su trabajo en revistas científicas, con todo lo que conlleva de difusión internacional de los resultados, lo que sí que pudo hacer Bézier.
La idea de DeCasteljau para construir superficies tiene como germen el mismo paraboloide hiperbólico. Ya hemos visto que con cuatro puntos determinamos un paraboloide hiperbólico. De alguna manera podemos decir que estos puntos controlan la superficie. La idea consiste en utilizar una red de puntos que controlan la superficie, y construir la superficie con un procedimiento parecido al que utilizan los obreros, matemáticamente denominado interpolación lineal, de manera recursiva. Hay que señalar que uno de los ingredientes fundamentales que los informáticos, y también los matemáticos, aprovechan cuando diseñan un algoritmo es la recursividad. Por tanto, la construcción de DeCasteljau está totalmente adaptada a la nueva herramienta de trabajo que representaba el ordenador en aquellos primeros años de su aparición.
–– CAGD EN LA ARQUITECTURA
En Les Alqueries, en La Plana Baixa, se podía contemplar a principios de verano del 2002 cómo al lado de la carretera empezaba a levantarse una estructura que llamaba poderosamente la atención. Eran las cuadernas de madera que soportarían el techo de un nuevo restaurante. El edificio es de planta rectangular, con paredes sin ningún ornamento, todo muy clásico. Sin embargo, el elemento más llamativo es la forma de la cubierta. En contraste con la utilización de líneas rectas y paredes totalmente planas, la cubierta casi volaba mostrando una estructura curvada grácilmente. Casi como si una mágica alfombra voladora se hubiera puesto como techo. Las paredes de vidrio contribuyen a hacer más patente esta sensación. Pues bien, la cubierta no es otra cosa que una de las más sencillas superficies de la nueva disciplina.
La cubierta que se podía contemplar a principios de verano del 2002, totalmente acabada a comienzos del otoño, es el ejemplo de superficie de Bézier más sencillo a parte del propio paraboloide hiperbólico. Continúa siendo una superficie reglada. Dos de los lados de la superficie son parábolas, una cóncava y la otra convexa. Los otros dos son segmentos rectilíneos. Podemos pensar en la superficie como una familia de segmentos rectilíneos, apoyados en sus extremos sobre ambas parábolas. Es decir, los obreros de Gaudí habrían deslizado la barra con los extremos sobre las dos parábolas.
Esta superficie todavía conserva una de las propiedades del paraboloide hiperbólico, todavía es una superficie reglada. Las dimensiones de su red de control son 3 por 2. Un ejemplo de superficie de Bézier con un grado más de complejidad se puede construir con una red de control del tipo 3 por 3. Pues bien, resulta que también podemos encontrar una materialización arquitectónica en la misma ciudad de Valencia, concretamente en el extremo norte de la playa de la Malvarrosa.
El ejemplo más emblemático de aplicación del diseño asistido por ordenador en la arquitectura lo tenemos también cerca, el Museo Guggenheim (1997) del arquitecto canadiense Frank O. Gehry. Sus aristas curvadas, la forma sinuosa de las paredes recubiertas de titanio, los volúmenes nada uniformes, la geometría irregular, en definitiva, son producto de la voluntad de integrar el edificio en el entorno que lo rodea y de la ayuda que su creador ha tenido de los programas informáticos de diseño basados en los conceptos de curvas y superficies de Bézier y de sus generalizaciones.
El embrión del diseño del Museo son unos pocos garabatos. Sólo con información adicional podemos relacionar el boceto con el resultado final. Pese a esto, la chispa creativa está allá. Todo lo que viene después es técnica. Ahora bien, la noción de superficies de Bézier ayudó al arquitecto a pasar con facilidad de las musas al papel. En palabras del arquitecto mismo: “…Después el ordenador hace los modelos y yo los utilizo como revisión visual final. Entonces, con el ordenador… creo que cambia la ecuación entre arquitecto y construcción”. Nos podemos imaginar el estudio de arquitectura con el arquitecto trabajando con un programa de diseño asistido por ordenador en marcha (concretamente, era uno llamado CATIA, de una empresa aeroespacial francesa) haciendo pruebas y más pruebas, cambiando de sitio los puntos de control, hasta que aquello que mostraba el monitor reflejara lo que él tenía en mente.
Si visitáis alguna vez el museo de Bilbao, recordad que el mismo envoltorio del museo, el edificio, tanto el exterior como el interior, es también una obra de arte producto de un arquitecto de su tiempo, un Vitruvio electrónico, que aprovechó las herramientas matemáticas en el mismo proceso de creación. Herramientas que permitieron transformar las visiones escultóricas en un proyecto factible.
las conicas en la arquitectura
No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico. Sin embargo parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada.
Pues bien, esto no es exactamente así.
Lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cómo ha aprovechado la arquitectura en el último siglo no sólo las técnicas matemáticas, sino también las ideas. Haremos un recorrido visitando desde la Sagrada Familia de Gaudí hasta el Guggenheim de Gehry, pasando por la obra mexicana de Félix Candela y por el estadio olímpico de Múnich. Un recorrido que paralelamente nos traerá desde las superficies clásicas utilizadas en arquitectura a las modernas superficies generadas por ordenador.
–– GEOMETRÍA Y ARQUITECTURA ANTES DEL ORDENADOR
Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la bautizada con el pomposo nombre de paraboloide hiperbólico. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, el paraboloide hiperbólico es un espécimen ya conocido por los griegos. Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas.
Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominamos superficies regladas y tenemos ejemplos en cantidad suficiente en otra arte, en la escultura. Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).
Veamos exactamente cómo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolución. Quien mostró una maestría sublime en su utilización fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanogràfic (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.
Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto.
Pues bien, esto no es exactamente así.
Lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cómo ha aprovechado la arquitectura en el último siglo no sólo las técnicas matemáticas, sino también las ideas. Haremos un recorrido visitando desde la Sagrada Familia de Gaudí hasta el Guggenheim de Gehry, pasando por la obra mexicana de Félix Candela y por el estadio olímpico de Múnich. Un recorrido que paralelamente nos traerá desde las superficies clásicas utilizadas en arquitectura a las modernas superficies generadas por ordenador.
–– GEOMETRÍA Y ARQUITECTURA ANTES DEL ORDENADOR
Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la bautizada con el pomposo nombre de paraboloide hiperbólico. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, el paraboloide hiperbólico es un espécimen ya conocido por los griegos. Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas.
Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominamos superficies regladas y tenemos ejemplos en cantidad suficiente en otra arte, en la escultura. Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).
Veamos exactamente cómo construir uno. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.
Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolución. Quien mostró una maestría sublime en su utilización fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante Los Manantiales (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. La misma estructura se puede encontrar ahora en el nuevo Oceanogràfic (2002) de la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia.
Tanto Gaudí como Candela aprovecharon superficies matemáticas previamente definidas y estudiadas, con unas ecuaciones perfectamente determinadas y una manera de construirlas totalmente establecida. Esto implica una carencia de libertad en el diseño de la forma deseada. Sólo podían utilizar una determinada familia de superficies dependiendo de unos pocos parámetros. La única variación permitida consiste en jugar con diferentes valores de los parámetros. El genio de los dos arquitectos y la experiencia lograda tras muchas pruebas con maquetas suplió este defecto.
publicado por andres martinez meza turno tc
Suscribirse a:
Entradas (Atom)